DSP 07 · IIR フィルタの基礎【本丸】

Chapter 07

IIR フィルタの基礎【本丸】

これまでの道具（畳み込み、Z 変換、伝達関数、極零点、安定性）を使って IIR フィルタそのものを理解する。

1. FIR と IIR — 定義

デジタルフィルタはインパルス応答\(h[n]\)の長さで 2 種類に分類される:

FIR (Finite Impulse Response)IIR (Infinite Impulse Response)
インパルス応答有限長（いつか完全に 0 になる）無限長（無限に続く）
差分方程式\(y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]\)\(y[n] = \sum b_k x[n-k] - \sum a_k y[n-k]\)
フィードバックなしあり（過去の出力を再利用）
伝達関数多項式（極は原点のみ）有理関数（原点以外に極を持つ）
安定性常に安定極が単位円内のときのみ安定
位相線形位相にできる厳密な線形位相は不可能
必要な次数多い少ない（同じ仕様なら 1 桁少ないことも）

直感

2. 最小の IIR: 1 次フィルタの完全解析

\[ y[n] = a y[n-1] + (1-a) x[n], \qquad 0 < a < 1 \]

これは実務で最も使われる指数移動平均 (EMA: Exponential Moving Average)。 「新しい入力を\((1-a)\)だけ取り入れ、これまでの状態を\(a\)だけ保つ」平滑化フィルタである。

2.1 インパルス応答の導出（方法 1: 逐次代入）

\(x[n] = \delta[n]\)を入れ、初期条件\(y[-1] = 0\)（因果的・初期静止）で 1 ステップずつ計算する:

\[ \begin{aligned} y[0] &= a y[-1] + (1-a)\delta[0] = 0 + (1-a) = (1-a)\\ y[1] &= a y[0] + (1-a)\delta[1] = a(1-a) + 0 = (1-a)a\\ y[2] &= a y[1] = (1-a)a^2\\ y[3] &= a y[2] = (1-a)a^3\\ &\vdots \end{aligned} \]

パターンより（帰納法:\(y[n] = (1-a)a^n\)を仮定すると\(y[n+1] = a \cdot (1-a)a^n = (1-a)a^{n+1}\)✓）:

\[ \boxed{h[n] = (1-a) a^n u[n]} \]

\(n\)がいくら大きくても\(h[n] = (1-a)a^n \neq 0\)。インパルス応答が無限に続く = IIR の名の由来を、 最小の例で確認できた。

2.2 インパルス応答の導出（方法 2: Z 変換）

差分方程式を Z 変換（時間シフト性質\(y[n-1] \leftrightarrow z^{-1}Y(z)\)）:

\[ Y(z) = a z^{-1} Y(z) + (1-a) X(z) \]
\[ Y(z)(1 - a z^{-1}) = (1-a) X(z) \quad\Longrightarrow\quad H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1-a}{1 - a z^{-1}} \]

05 章の対\(a^n u[n] \leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}}\)（ROC:\(|z|>|a|\)、因果的）より:

\[ h[n] = (1-a) a^n u[n] \]

方法 1 と一致。∎ 極は\(z = a\)の 1 個。\(0 < a < 1\)なら単位円内 → 安定（06 章の定理どおり）。

2.3 周波数特性の導出

\(z = e^{j\omega}\)を代入:

\[ H(e^{j\omega}) = \frac{1-a}{1 - a e^{-j\omega}} \]

振幅の 2 乗を計算する。分母の絶対値の 2 乗は:

\[ |1 - ae^{-j\omega}|^2 = (1 - ae^{-j\omega})(1 - ae^{j\omega}) = 1 - a(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) + a^2 = 1 - 2a\cos\omega + a^2 \]

よって:

\[ |H(e^{j\omega})|^2 = \frac{(1-a)^2}{1 - 2a\cos\omega + a^2} \]

端点の値:

\(\cos\omega\)は\(\omega: 0 \to \pi\)で単調減少なので分母は単調増加、つまり\(|H|\)は単調減少 = ローパスフィルタ。

カットオフ周波数（−3dB 点）の導出:\(|H|^2 = \tfrac{1}{2}\)となる\(\omega_c\)を求める:

\[ \frac{(1-a)^2}{1 - 2a\cos\omega_c + a^2} = \frac{1}{2} \Longrightarrow 2(1-a)^2 = 1 - 2a\cos\omega_c + a^2 \]
\[ \cos\omega_c = \frac{1 + a^2 - 2(1-a)^2}{2a} = \frac{1 + a^2 - 2 + 4a - 2a^2}{2a} = \frac{-a^2 + 4a - 1}{2a} \]
\[ \boxed{\omega_c = \arccos\left(\frac{4a - a^2 - 1}{2a}\right)} \]

例:\(a = 0.9\)→\(\cos\omega_c = \frac{3.6 - 0.81 - 1}{1.8} = \frac{1.79}{1.8} \approx 0.9944\)→\(\omega_c \approx 0.105\)rad/sample。 \(f_s = 48\)kHz なら\(f_c = \omega_c f_s / 2\pi \approx 805\)Hz。 \(a\)を 1 に近づけるほど極\(z=a\)が単位円に近づき、カットオフが下がって平滑化が強くなる。

EMA のインパルス応答と周波数特性
図: 左は\(h[n]\)が(対数軸で直線 = )指数減衰しつつ厳密には永遠に 0 にならないこと(IIR の名の由来)。右は導出した\(\omega_c\)の式どおり、\(a\)を上げるとカットオフ(▼)が下がっていく様子。

2.4 位相特性と群遅延

\[ \angle H(e^{j\omega}) = \angle(1-a) - \angle(1 - ae^{-j\omega}) = -\arctan\left(\frac{a\sin\omega}{1 - a\cos\omega}\right) \]

（\(1 - ae^{-j\omega} = (1 - a\cos\omega) + ja\sin\omega\)の偏角。分子は正の実数なので偏角 0。）

群遅延の定義は\(\tau_g(\omega) = -\dfrac{d\angle H}{d\omega}\)。「その周波数付近の波の包絡線が何サンプル遅れて出てくるか」を表す。

これが\(\omega\)に依存して変わる（= 非線形位相）のが IIR の宿命で、 周波数によって遅延量が異なるため波形が崩れる。音声・オーディオでは問題にならないことが多いが、 波形の形が意味を持つ用途（計測、データ伝送、心電図など）では FIR の線形位相が好まれる。

3. なぜ IIR は低次数で済むのか(直感 + 図形的説明)

同じ「鋭い」ローパス特性を作るのに、FIR は 100 次以上、IIR は 4〜8 次で済むことがよくある。理由:

たとえるなら、FIR は「彫刻刀で削って形を作る」、IIR は「共振（増幅）も使って形を作る」。 共振という強力な道具の代償が、安定性への注意と位相の非線形性である。

FIR と IIR の次数比較
図: 同じカットオフのローパスを作った比較。IIR は係数 9 個(4 次)で、FIR の 15 タップよりはるかに急峻に切れる。FIR で肩を並べるには 100 タップ超が要る。

4. biquad(双 2 次)セクション — IIR の実用単位

実際の IIR フィルタは、次の 2 次セクション (biquad) を基本ブロックとして使う:

\[ H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} \quad\Longleftrightarrow\quad y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2] \]

なぜ 2 次を単位にするのか

実係数フィルタの極・零点は「実数」か「複素共役対」（06 章）。 複素共役対\(p, p^*\)をひとまとめにすると係数が実数の 2 次式になる:

\[ (1 - p z^{-1})(1 - p^* z^{-1}) = 1 - (p + p^*) z^{-1} + p p^* z^{-2} = 1 - 2\mathrm{Re}(p) z^{-1} + |p|^2 z^{-2} \]

（\(p + p^* = 2\mathrm{Re}(p)\)、\(p p^* = |p|^2\)はともに実数。） つまり 2 次が「実数係数のまま複素極を 1 対持てる最小単位」。 高次フィルタは biquad の縦続（カスケード）接続で作る（数値的理由は 09 章）。

biquad の安定条件の導出（安定三角形）

分母\(D(z) = 1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}\)の根（極）が両方\(|z| < 1\)にある条件を係数で表す。 \(z^2\)を掛けた\(z^2 + a_1 z + a_2 = 0\)の根を\(p_1, p_2\)とすると、根と係数の関係より:

\[ p_1 + p_2 = -a_1, \qquad p_1 p_2 = a_2 \]

条件の導出: 多項式\(P(z) = z^2 + a_1 z + a_2\)について、両根が単位円内にあるための必要十分条件は 次の 3 つである（2 次に対するジュリー安定判定）:

  1. \(P(1) > 0\):\(1 + a_1 + a_2 > 0\)
  2. \(P(-1) > 0\):\(1 - a_1 + a_2 > 0\)
  3. \(|a_2| < 1\)

導出:

\((a_1, a_2)\)平面でこの 3 条件が描く領域は三角形になるので安定三角形と呼ぶ:

   a₂
   1 ┌─────────────┐
     │＼    安定   ／│    頂点: (a₁,a₂) = (-2,1), (2,1), (0,-1)
     │  ＼領域 ／   │    境界線: a₂ = 1+a₁, a₂ = 1-a₁, a₂ = ±1... の内側
     │    ＼／      │
─────┼────────────── a₁
  -1 └───（0,-1）───┘
    -2       0      2

実装でフィルタ係数を動的に変える（例: シンセのフィルタスイープ）ときは、 係数がこの三角形から出ないことを保証する必要がある。

安定三角形
図: 3 つの安定条件が\((a_1, a_2)\)平面に描く三角形。放物線\(a_2 = a_1^2/4\)より上が複素共役極(減衰振動)、下が実数極 2 個。係数がこの外に出た瞬間、極が単位円の外に出て発振する。

5. IIR の長所・短所まとめ

長所

短所