Chapter 04

DTFT（離散時間フーリエ変換）

「フィルタの周波数特性」を正確に定義する道具が DTFT である。 Z 変換（05 章）は DTFT の拡張なので、まずここを固める。

1. 定義

信号\(x[n]\)の DTFT (Discrete-Time Fourier Transform):

\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \]

（\(\sum_n |x[n]| < \infty\)なら級数は絶対収束し、DTFT は存在する。）

直感

\(X(e^{j\omega})\)は「信号\(x[n]\)の中に、周波数\(\omega\)の回転成分\(e^{j\omega n}\)がどれだけの量と位相で含まれているか」を測る内積である。

\(e^{-j\omega n}\)を掛ける = 信号を逆回転させて、周波数\(\omega\)の成分だけを「静止」させる
全時刻で足す = 静止した成分だけが同じ向きに積み上がり大きな値になる。他の周波数成分は回転したまま足されるので打ち消し合ってほぼ 0

「合唱の中から特定の人の声だけ聞き取るために、その人のリズムに合わせて首を振る」ようなイメージ。

記法について

引数を\(\omega\)でなく\(e^{j\omega}\)と書くのは、05 章の Z 変換\(X(z)\)に\(z = e^{j\omega}\)を代入したものが DTFT に一致するから。つまり DTFT = Z 変換を単位円上で評価したもの（先取り）。

2. DTFT の周期性(導出)

\[ X(e^{j(\omega + 2\pi)}) = \sum_n x[n] e^{-j(\omega+2\pi)n} = \sum_n x[n] e^{-j\omega n} \underbrace{e^{-j2\pi n}}_{=1(n\text{は整数})} = X(e^{j\omega}) \]

DTFT は必ず周期\(2\pi\)の周期関数。∎

直感: 01 章で見たとおり、離散信号では\(\omega\)と\(\omega + 2\pi\)は同じ信号を表すので、スペクトルも同じ値になるしかない。これが「デジタルフィルタの周波数特性は\(0 \leq \omega \leq \pi\)だけ見ればよい」理由（実係数なら\(|X(e^{-j\omega})| = |X(e^{j\omega})|\)の対称性もあるため、負側も冗長）。

3. 逆変換の導出

主張

\[ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega \]

準備: 複素指数の直交性

任意の整数\(m\)について次を計算する:

\[ I(m) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega m} d\omega \]

場合 1:\(m = 0\) — 被積分関数は 1 なので\(I(0) = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi = 1\)。

場合 2:\(m \neq 0\) — 原始関数は\(\frac{e^{j\omega m}}{jm}\)なので:

\[ I(m) = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{e^{j\omega m}}{jm}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{e^{j\pi m} - e^{-j\pi m}}{2\pi j m} = \frac{2j \sin(\pi m)}{2\pi j m} = \frac{\sin(\pi m)}{\pi m} = 0 \]

（\(m\)が 0 でない整数なら\(\sin(\pi m) = 0\)。）

まとめると:

\[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega m} d\omega = \delta[m] \]

直感: 回転する複素指数を一周期分積分すると、ちょうど円を整数周して打ち消し合い 0 になる。回らない (\(m=0\)) ときだけ 1 が残る。

本体の導出

逆変換の右辺に DTFT の定義を代入する（総和のダミー変数を\(k\)にしておく）:

\[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-j\omega k}\right] e^{j\omega n} d\omega \]

積分と和を交換（絶対収束を仮定）:

\[ = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega(n-k)} d\omega = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k] = x[n] \qquad \blacksquare \]

（最後は 01 章のインパルス分解の式。）

直感

逆変換の式は「信号は、あらゆる周波数の回転成分\(e^{j\omega n}\)を、重み\(X(e^{j\omega})\)で混ぜ合わせたもの」と読める。 DTFT が「分解」、逆 DTFT が「合成」。

4. 畳み込み定理(導出) — フィルタリングの周波数領域での姿

主張

\[ y[n] = (x * h)[n] \quad \Longrightarrow \quad Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) H(e^{j\omega}) \]

導出

\[ Y(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n] e^{-j\omega n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]\right] e^{-j\omega n} \]

和の順序を交換し、指数を\(e^{-j\omega n} = e^{-j\omega k} e^{-j\omega (n-k)}\)と分解する:

\[ = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-j\omega k} \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n-k] e^{-j\omega (n-k)} \]

内側の和で\(m = n-k\)と変数変換（\(k\)固定で\(n\)が全整数を動けば\(m\)も全整数を動く）:

\[ = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] e^{-j\omega k} \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m] e^{-j\omega m} = X(e^{j\omega}) H(e^{j\omega}) \qquad \blacksquare \]

直感（これがフィルタ理論の中心的な絵）

時間領域の畳み込み（面倒な計算）は、周波数領域では単なる掛け算になる。

各周波数成分ごとに見れば、フィルタは「その周波数の倍率\(H(e^{j\omega})\)を掛けるだけ」の装置である（02 章の固有関数の議論と完全に整合する）。イコライザーのスライダーそのもの。

時間領域:   x[n] ──[畳み込み h]──→ y[n]        （計算はしんどい）
              ↕ DTFT                  ↕ DTFT
周波数領域: X(e^jω) ──[× H(e^jω)]──→ Y(e^jω)   （ただの掛け算）

5. よく使う DTFT の性質(導出付き)

(a) 線形性

\[ \mathcal{F}\{a x_1[n] + b x_2[n]\} = \sum_n (a x_1[n] + b x_2[n]) e^{-j\omega n} = a\sum_n x_1[n] e^{-j\omega n} + b\sum_n x_2[n] e^{-j\omega n} = a X_1 + b X_2 \]

(b) 時間シフト

\[ \mathcal{F}\{x[n - n_0]\} = \sum_n x[n-n_0] e^{-j\omega n} \]

\(m = n - n_0\)と置換:

\[ = \sum_m x[m] e^{-j\omega(m + n_0)} = e^{-j\omega n_0} \sum_m x[m] e^{-j\omega m} = e^{-j\omega n_0} X(e^{j\omega}) \qquad \blacksquare \]

直感: 時間の遅れは、スペクトルの大きさを変えず位相だけを周波数に比例して回す（\(-\omega n_0\)）。「遅延 = 線形位相」という事実は位相特性を読むときの基準になる。

(c) 実信号の共役対称性

\(x[n]\)が実数のとき:

\[ X(e^{-j\omega}) = \sum_n x[n] e^{j\omega n} = \overline{\sum_n x[n] e^{-j\omega n}} = X(e^{j\omega})^* \]

（実数\(x[n]\)は共役をとっても変わらないため。）よって\(|X(e^{-j\omega})| = |X(e^{j\omega})|\)（振幅特性は偶関数）、\(\angle X(e^{-j\omega}) = -\angle X(e^{j\omega})\)（位相特性は奇関数）。∎

6. 例: 1 次の指数減衰信号の DTFT(導出)

IIR の最小構成要素になる信号\(x[n] = a^n u[n]\)（\(|a| < 1\)）を変換する:

\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n e^{-j\omega n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(a e^{-j\omega}\right)^n \]

これは公比\(r = a e^{-j\omega}\)の等比級数。\(|r| = |a| < 1\)なので収束し（02 章の公式）:

\[ X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - a e^{-j\omega}} \]

振幅特性を計算する（\(a\)は実数とする）:

\[ |X(e^{j\omega})|^2 = \frac{1}{(1 - a e^{-j\omega})(1 - a e^{j\omega})} = \frac{1}{1 - a(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) + a^2} = \frac{1}{1 - 2a\cos\omega + a^2} \]

（\(e^{j\omega} + e^{-j\omega} = 2\cos\omega\)を使用。）

\(0 < a < 1\)の場合の挙動:

\(\omega = 0\):\(|X|^2 = \dfrac{1}{(1-a)^2}\)… 最大（分母が最小）
\(\omega = \pi\):\(|X|^2 = \dfrac{1}{(1+a)^2}\)… 最小

つまりローパス特性。\(a\)が 1 に近いほど\(\omega=0\)でのピークが鋭くなる。 07 章で見る 1 次 IIR ローパスフィルタの周波数特性はまさにこれである。

指数減衰信号の DTFT — 図: 左はこの\(|X(e^{j\omega})|\)を広い範囲で見たもの — §2 で導出した周期\(2\pi\)と左右対称性が現れており、情報は青帯\([-\pi,\pi]\)(実質\([0,\pi]\))に全部ある。右は\(a\)を変えたときのローパス特性の変化。