Chapter 01

離散時間信号とサンプリング

1. 離散時間信号とは

直感

マイクで音を録るとき、空気の振動（連続的な波）を一定間隔でパシャパシャと「スナップ写真」に撮って数値の列にする。この数値の列が離散時間信号である。

\[ x[n] = x_a(nT), \quad n = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \]

$x_a(t)$: 元のアナログ（連続時間）信号
$T$: サンプリング周期 [s]
$f_s = 1/T$: サンプリング周波数 [Hz]（例: CD なら 44100 Hz）

離散時間信号は「$T$秒ごとの値だけを覚えた数列」であり、サンプル同士の間の時刻には値が存在しない。

連続信号とそのサンプル列 — 図: 連続波形(青)から周期$T$ごとに値を抜き出したものがサンプル列(赤)。以後の全議論はこの「数列」の上で行われる。

重要な基本信号

単位インパルス（デルタ）信号 — 離散信号処理で最も重要な信号:

\[ \delta[n] = \begin{cases} 1 & (n = 0)\\ 0 & (n \neq 0) \end{cases} \]

直感: 「時刻 0 に一発だけ叩く」信号。太鼓を一回だけポンと叩くイメージ。連続時間のディラックのデルタ関数と違い、離散版は単なる「高さ 1 の 1 サンプル」なので数学的に何も難しくない。

単位ステップ信号:

\[ u[n] = \begin{cases} 1 & (n \geq 0)\\ 0 & (n < 0) \end{cases} \]

直感: 「時刻 0 でスイッチを入れてそのまま」。

両者の関係の導出:

$\delta[n]$を時刻 0 まで足し合わせるとステップになる:

\[ u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \]

確認:$n < 0$のとき、和の範囲に$k=0$が含まれないのですべての項が 0、よって$u[n]=0$。 $n \geq 0$のとき、$k=0$の項だけが 1 で他は 0、よって$u[n]=1$。定義と一致する。∎

逆に、ステップの「差分」がインパルスになる:

\[ \delta[n] = u[n] - u[n-1] \]

確認:$n=0$で$u[0]-u[-1] = 1-0 = 1$。$n\geq 1$で$1-1=0$。$n\leq -1$で$0-0=0$。∎

インパルスとステップの関係 — 図: 左は$u[n]=\sum_{k\leq n}\delta[k]$— インパルス(赤)を 0 番目まで積み上げると 1 になり、以降ずっと 1。右は$\delta[n]=u[n]-u[n-1]$—$u[n]$と 1 サンプルずらした$u[n-1]$の差は段差の 1 点だけが残りインパルスに戻る。積分と微分の離散版という表裏一体の関係。

なぜこの 2 つが「基本信号」なのか（存在意義）。
$\delta[n]$ はシステムの指紋を測るプローブ。中身のわからないフィルタに一発だけ叩き込むと、返ってくる応答 $h[n]$（インパルス応答）が、そのフィルタの挙動を完全に決める（03 章で証明）。
$u[n]$ はもう一方の基本入力「スイッチを入れっぱなし」。立ち上がりの過渡応答（整定の様子）を見るのに使う、実務のもう一つの標準プローブ。
$u=\sum\delta$、$\delta=u-u[n-1]$ という和／差の対応は、連続系の積分 $\int$ と微分 $d/dt$ の離散版。この対はこの先くり返し効いてくる。

任意の信号のインパルスによる分解（後の畳み込みの導出で使う超重要式）:

\[ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k] \]

導出:$\delta[n-k]$は$n=k$のときだけ 1、それ以外は 0。したがって右辺の無限和のうち生き残るのは$k=n$の項だけで、その値は$x[n] \cdot 1 = x[n]$。左辺と一致する。∎

直感: どんな信号も「各時刻に置かれた、高さの違うインパルスの列」として見なせる、ということ。レゴブロックを 1 個ずつ並べて任意の形を作るのと同じで、$\delta$が「ブロック 1 個」に相当する。

任意の信号のインパルス分解 — 図: 左の信号$x[n]$を、右のように「各時刻$k$に高さ$x[k]$で置いた 1 個のインパルス$x[k]\delta[n-k]$」へ分解する。これらを全部足し戻すと元の信号になる($x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k]$)。この「積み木」の見方が畳み込み(03章)の出発点になる。

この分解は何のためにやるのか（存在意義）。 ねらいはただ 1 つ、「たった 1 回の測定 $h[n]$ から、あらゆる入力への出力を計算できるようにする」こと。次の 4 ステップでつながる:
どんな入力も $\sum_k x[k]\delta[n-k]$ と「インパルスの寄せ集め」に分解できる（＝この式）
1 発 $\delta[n]$ の応答は指紋 $h[n]$（インパルス応答の定義）
時不変性より、$k$ だけ遅れた $\delta[n-k]$ の応答は $h[n-k]$
線形性より全部足し合わせて、出力 $= \sum_k x[k]h[n-k]$ = 畳み込み
つまりこの分解は「指紋 $h[n]$ を全入力に使い回すための橋渡し」である。これが無ければ $h[n]$ を測っても宝の持ち腐れ、逆にこれがあるおかげで 03 章以降のフィルタ理論すべてが 1 本の $h[n]$ の上に乗る。鐘を一度叩いた "ゴーン"（$h[n]$）さえ録っておけば、どんな連打の音も「遅らせて音量を変えた "ゴーン" の足し算」で予測できる——その「叩きの寄せ集め」という見方が、まさにこの式である。（4 ステップの数式化が 03 章の畳み込み。）

2. 正規化周波数

離散信号の世界では、時間の単位が「秒」ではなく「サンプル」になる。そこで周波数も正規化する。

アナログの正弦波$\cos(\Omega t) = \cos(2\pi f t)$を周期$T$でサンプリングすると:

\[ x[n] = \cos(\Omega n T) = \cos\left(2\pi \frac{f}{f_s} n\right) = \cos(\omega n) \]

ここで

\[ \omega = \Omega T = 2\pi \frac{f}{f_s} \quad [\text{rad/sample}] \]

を正規化角周波数と呼ぶ。

直感:$\omega$は「1 サンプル進むごとに位相が何ラジアン回るか」。

$\omega = 0$: 直流（全く回らない）
$\omega = \pi$: 1 サンプルごとに半回転 = 表現できる最高の速さ（後述のナイキスト周波数$f_s/2$に対応）
$\omega = 2\pi$: 1 サンプルごとに 1 回転 = サンプル点上では直流と区別がつかない

最後の点が本質的で、離散信号の周波数は$2\pi$周期でしか意味を持たない。実際、任意の整数$m$に対して

\[ \cos((\omega + 2\pi m) n) = \cos(\omega n + 2\pi m n) = \cos(\omega n) \]

（$mn$は整数なので$2\pi m n$は位相として一周の整数倍、よって消える）。∎

正規化周波数 — 図: 左は$\omega$が「1 サンプルあたりの位相回転量」であること —$\omega=0$は回らず(直流)、$\omega=\pi$で 1 サンプルごとに半回転(±1 の交互)となりこれが表現できる最速。右は$\omega$と$\omega+2\pi$が全く同じサンプル列(黒)を生む様子で、離散信号の周波数が$2\pi$周期でしか意味を持たない(見るべきは$0$〜$\pi$)ことを示す。

3. サンプリング定理とエイリアシング

直感

回転するタイヤをビデオで撮ると、逆回転して見えることがある（ワゴンホイール効果）。これは「撮影のコマ間隔に対してタイヤが速く回りすぎて、遅い回転と区別がつかなくなる」現象で、サンプリングにおけるエイリアシング（折り返し歪み）そのものである。

インパルス列によるサンプリングのモデル化

サンプリングを数式で扱うため、連続信号$x_a(t)$に周期$T$のインパルス列

\[ s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \]

を掛けたもの（$\delta(\cdot)$はディラックのデルタ関数）をサンプリング済み信号とみなす:

\[ x_s(t) = x_a(t) s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_a(nT) \delta(t - nT) \]

（デルタ関数の性質$x_a(t)\delta(t-nT) = x_a(nT)\delta(t-nT)$を使った。デルタは$t=nT$でしか「生きて」いないので、掛ける関数はその点の値だけが効く。）

インパルス列によるサンプリングのモデル化 — 図: サンプリングを「掛け算」でモデル化する 3 段。①連続信号$x_a(t)$に、②高さ 1・周期$T$のインパルス列(櫛)$s(t)$を掛けると、③各インパルスの高さがその時刻の標本値$x_a(nT)$になった信号$x_s(t)$が得られる。この積の形が、次のフーリエ級数展開でスペクトルの複製を導く鍵になる。

インパルス列のフーリエ級数展開（導出）

$s(t)$は周期$T$の周期関数なので、フーリエ級数で書ける:

\[ s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j k \Omega_s t}, \qquad \Omega_s = \frac{2\pi}{T} \]

係数$c_k$を計算する。フーリエ係数の公式より:

\[ c_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} s(t) e^{-j k \Omega_s t} dt \]

積分区間$[-T/2, T/2]$の中にあるインパルスは$t=0$の$\delta(t)$一本だけ。デルタ関数の抜き出し性質 $\int \delta(t) g(t) dt = g(0)$より:

\[ c_k = \frac{1}{T} e^{-j k \Omega_s \cdot 0} = \frac{1}{T} \]

すなわちすべての係数が等しく$1/T$:

\[ s(t) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j k \Omega_s t} \]

直感: 時間軸で「等間隔のトゲの列」は、周波数軸でも「等間隔（$\Omega_s$おき）の成分がすべて同じ強さで並ぶ」。

サンプリングされた信号のスペクトル（導出）

$x_a(t)$のフーリエ変換を$X_a(j\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x_a(t) e^{-j\Omega t} dt$とする。 $x_s(t)$のフーリエ変換を計算する:

\[ X_s(j\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x_s(t) e^{-j\Omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} x_a(t) \left[\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{jk\Omega_s t}\right] e^{-j\Omega t} dt \]

和と積分を入れ替えて:

\[ X_s(j\Omega) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x_a(t) e^{-j(\Omega - k\Omega_s) t} dt = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_a\big(j(\Omega - k\Omega_s)\big) \]

（積分の中身は「周波数を$\Omega - k\Omega_s$に置き換えたフーリエ変換の定義式」そのものである。）

\[ \boxed{X_s(j\Omega) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_a\big(j(\Omega - k\Omega_s)\big)} \]

この式の意味（最重要の直感）

サンプリングすると、元のスペクトル$X_a$のコピーが$\Omega_s = 2\pi f_s$おきに無限に並ぶ。

元のスペクトル:           サンプリング後:
                          コピーが fs おきに複製される
   /\                        /\      /\      /\
  /  \                      /  \    /  \    /  \
 /    \                    /    \  /    \  /    \
──────────Ω              ──────────┴──────┴───────Ω
 -B  0  B                 -B 0 B   fs      2fs

元の信号の最高周波数を$B$とすると、コピー同士が重ならない条件は $$ f_s - B > B \quad \Longleftrightarrow \quad f_s > 2B $$ これがサンプリング定理（ナイキスト・シャノンの定理）: 「信号の最高周波数の 2 倍より速くサンプリングすれば、元の信号は完全に復元できる」。
コピーが重なると、隣のコピーの成分が混入して元と区別できなくなる。これがエイリアシング。周波数$f > f_s/2$の成分は$f_s - f$の位置に「折り返して」現れる。

スペクトルの複製とエイリアシング — 図: 左は$f_s > 2B$でコピー同士に隙間があり復元可能。右は$f_s < 2B$でコピーの裾が重なり(赤)、混入した成分は元の成分と区別できない。

エイリアシングの周波数を具体的に導出

周波数$f_0$（ただし$f_s/2 < f_0 < f_s$）の正弦波$\cos(2\pi f_0 t)$をサンプリングする:

\[ x[n] = \cos\left(2\pi \frac{f_0}{f_s} n\right) \]

ここで$f_1 = f_s - f_0$（これは$0 < f_1 < f_s/2$を満たす）とおくと$f_0 = f_s - f_1$なので:

\[ x[n] = \cos\left(2\pi \frac{f_s - f_1}{f_s} n\right) = \cos\left(2\pi n - 2\pi \frac{f_1}{f_s} n\right) \]

$2\pi n$は一周の整数倍だから位相として消え、さらに$\cos(-\theta)=\cos\theta$より:

\[ x[n] = \cos\left(2\pi \frac{f_1}{f_s} n\right) \]

つまり $f_0$の正弦波のサンプル列は、$f_s - f_0$の正弦波のサンプル列と完全に同一。∎

例:$f_s = 48$kHz で 30 kHz の音をサンプリングすると、$48-30 = 18$kHz の音と区別がつかない。だから A/D 変換の前には必ずアナログのローパスフィルタ（アンチエイリアシングフィルタ）を入れる。

エイリアシングの時間波形 — 図: 上の例そのもの。30 kHz(橙)と 18 kHz(青)は連続波形としては全く別物だが、48 kHz のサンプル点(黒丸)の上では 1 点残らず一致してしまう。

4. まとめ — IIR とのつながり

IIR フィルタは離散時間信号$x[n]$を入力にとる。すべての議論は「サンプル列」の上で行われる。
IIR フィルタの周波数特性は正規化周波数$\omega \in [0, \pi]$（実周波数$0$〜$f_s/2$）の範囲で設計する。
次章では、周波数を扱うための数学的道具である複素指数関数を固める。